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huzhikuizainali
V2EX  ›  数学

无穷大量与无界量、无界函数三者之间究竟有什么区别?

  •  
  •   huzhikuizainali · 36 天前 · 577 次点击
    这是一个创建于 36 天前的主题,其中的信息可能已经有所发展或是发生改变。

    20 条回复
    Alex222222222222
        1
    Alex222222222222  
       36 天前 via iPhone
    第一个你的理解是对的。虽然并不清楚你想问什么。

    对于第二个问题。条件不是每一个 x in D ,而是存在 x in D 。

    第三个问题。x 已经在 x0 的去心临域中了,x 自然不可能趋向正无穷,所以也不理解你的问题。

    就我对于数分理解来看,我学的教材并没有强调无穷大量和无界量。我个人从定义来看,我认为这两个概念是 identical 的。

    我个人对于无穷大量和无界函数的理解是,无界函数的条件是 globally 的,是作用在整个定义域上的。无穷大量是 locally 的,可以理解为是作用在一个点上的。
    无穷大量的条件是更强的,因为你 locally 有的性质,大概可以拓展到 globally 。
    Alex222222222222
        2
    Alex222222222222  
       36 天前 via iPhone
    另,从我个人读数分的经验来看,英文教材的体感普遍比中文教材好很多。
    huzhikuizainali
        3
    huzhikuizainali  
    OP
       35 天前
    @Alex222222222222 谢谢你的回复
    请问“ 我个人对于无穷大量和无界函数的理解是,无界函数的条件是 globally 的,是作用在整个定义域上的。无穷大量是 locally 的,可以理解为是作用在一个点上的。”——————请问你的理解是建立在我问题中引用的“课本截图”之上的么?
    huzhikuizainali
        4
    huzhikuizainali  
    OP
       35 天前
    @Alex222222222222
    “第一个你的理解是对的。虽然并不清楚你想问什么。”,其实我只有一个问题,问题是“ 无穷大量与无界量、无界函数三者之间究竟有什么区别?”

    在主贴黑体字“问题”后面是通过对《华东师范大学数分》 p65 页例子的讨论来阐述我的困惑。不知道我这么解释是否让问题更清楚了。如果你觉得哪里不清楚,请告诉我,我再补充!
    Alex222222222222
        5
    Alex222222222222  
       35 天前 via iPhone
    @huzhikuizainali #3

    理解并不完全建立在你的截图上。因为数分中有很多类似的性质,比如 locally compact 和 compact ,compact 是 globally 的性质,locally compact 是 locally 的性质。

    一般作用在整个 domain 上的性质我们认为是 globally 的,作用在某个点或者一些点周围的认为是 locally 的。他们之间会有一些联系,因为定义是类似的,但不完全相同。
    Alex222222222222
        6
    Alex222222222222  
       35 天前
    @huzhikuizainali #4

    这样的话,我个人认为他们之间的主要区别就是作用的对象不同。你看定义中,无穷大量明显是强调那一个固定的点 x0 的。

    另外对于所谓临域,空心临域之类的,你可以认为这是严格的数分的逼近的定义。不知道你有没有看到 sequence of points 的 converge 的定义。你可以比较他和无穷大量的定义,你会发现无穷大量观察的是 x 趋向于 x0 的时候的性质。
    huzhikuizainali
        7
    huzhikuizainali  
    OP
       34 天前
    @Alex222222222222
    那么如果仅以苏德矿微积分的截图来看。无界量和无穷大量有区别么?虽然,一个是“存在”,一个是“总存在”。但是似乎没有区别啊!
    Alex222222222222
        8
    Alex222222222222  
       33 天前 via iPhone
    @huzhikuizainali #7

    所以我说我认为这两个概念是 identical 的。你也不知道他为什么要给两遍。
    Alex222222222222
        9
    Alex222222222222  
       33 天前 via iPhone
    @Alex222222222222 #8

    是“我也不知道他为什么要给两遍”,不是“你”。
    huzhikuizainali
        10
    huzhikuizainali  
    OP
       33 天前
    @Alex222222222222
    关键这两个概念 “分别” 有相反的概念。无穷大量<-->无穷小量 无界量<-->有界量 而且有个性质:有界量*无穷小量=无穷小量

    据此推断,无穷大量与无界量应该是不同的概念吧?因为有界量与无穷小量显然是不同的概念!
    Alex222222222222
        11
    Alex222222222222  
       33 天前
    @huzhikuizainali #10

    的确无穷小量和有界量,而且他们是不同的。但是数学上不存在所谓“相反”概念的严格定义,至少我没有看到过。“相反”是你理解上的相反,是你 intuitive 的相反,而不是数学意义上严格的相反。

    正因为所谓的相反不是数学上严格的定义,所以你没有办法证明:“如果 A 和 B 相反,C 和 D 相反,且 B 和 D 不同,那么 A 和 C 必然不同”。

    你这个问题本质上的逻辑是在根据你的主观直觉,主观理解来判断他们相反,但是注意数学分析有很多反直觉的结论。在数学分析中你不能依靠感觉,而需要依靠严格的逻辑,定义,和推理。
    huzhikuizainali
        12
    huzhikuizainali  
    OP
       31 天前
    @Alex222222222222 同意你的说法。
    现在的难点在于除了苏德矿微积分。我没有在其他地方找到“无界量”的定义。包括维基百科。数学英汉词典。因此也不知道这个概念的英文专用名词是什么?
    Alex222222222222
        13
    Alex222222222222  
       29 天前
    @huzhikuizainali #12

    就我所知无界量的定义不是很重要,对于微积分来讲。

    另外我前两天对于无界量和无穷大量的理解有问题,他们其实是不同的。无穷大量要求 neighbourhood 里面每一个都满足|f(x)|> M. 但是无界量,只要有一个满足就好了。

    我们定义 f(x) = 1/|x|, if x neq 0, f(0) =0, x_0 = 0. 很显然这个既是无穷大量又是无界量。

    我们定义 g(x) = 1|x|, if x is not rational, g(x) = 0 if x is rational, x_0 =0 . 很显然这个是无界量。
    但是并不是无穷大量。譬如取 M = 1 , 你不存在 delta , 使得 delta 大小的去心领域内, 对于任意 x , 都有 g(x) > 1 。
    因为你总可以找到一个有理数 r 比 delta 小,于是 r 在 delta 大小的去心领域内,但是 g(r) = 0 < 1.

    如果你不是学校需求,需要考试,我不建议学中文教材。或者至少选择外国教材的翻译教材。我个人的感觉很多中文教材没有 intuition ,他不会介绍概念的起源和理解,而是强行灌输知识。我认为的好的教材,是会把你的 intuition 变成数学分析的 intuition 的,会重塑你的 intuition 的。
    huzhikuizainali
        14
    huzhikuizainali  
    OP
       21 天前
    @Alex222222222222 谢谢你的回复。
    有点没看懂。
    1 、x_0 = 0 ------------这个 x_0 是什么?
    2 、g(x) = 1|x|-----------这个确定 g(x) = 1|x|?而不是 g(x) = 1/|x|
    3 、外国教材的翻译教材------有什么推荐的么?
    Alex222222222222
        15
    Alex222222222222  
       16 天前
    @huzhikuizainali sorry for typo.

    x_0 中_指代的是下标的意思,这个指定义中的 x_0 。

    g 确实是 1/|x|,typo 。
    Alex222222222222
        16
    Alex222222222222  
       16 天前   ❤️ 1
    @huzhikuizainali

    教材我其实很推荐毛子教材翻译过来的教材。有一个系列叫:
    https://book.douban.com/series/581
    非常好的书。因为毛子分析确实很强。

    里面关于分析的我看过的是微积分学教程 by 菲赫金戈尔茨,非常不错,内容很充实,建议要看的话稍微选着看,他内容非常多。
    另一本卓里奇的听很多人说也很不错,我没看过,不做评价。
    huzhikuizainali
        17
    huzhikuizainali  
    OP
       16 天前
    @Alex222222222222
    我明白 x_0 是下标的意思。但是下面这段内容你想说明什么?我没太理解。
    f(x) = 1/|x|, if x neq 0, f(0) =0, x_0 = 0
    Alex222222222222
        18
    Alex222222222222  
       15 天前   ❤️ 1
    @huzhikuizainali #17

    g(x) 的定义为, 如果 x 有理数,那么 g(x) = 1/|x|, 如果 x 是无理数,那么 g(x) = 0 。你可以拿这个 g 去验证一下无穷大量和无界量的顶替。你会发现 g 是无界量,但不是无穷大量。
    huzhikuizainali
        19
    huzhikuizainali  
    OP
       14 天前
    @Alex222222222222
    这个例子太棒了。无界量是“存在”函数值大于任给的 M 。而无穷大量要求进入去心邻域后,所有函数值都大于任给的 M 。因此 G 是无界量,但不是无穷大量。
    请问你是怎么想到这个例子的?
    Alex222222222222
        20
    Alex222222222222  
       14 天前
    @huzhikuizainali 这个参考 dirichlet function ,类似的我们会参考以前的例子,来构造新的例子,主要是要对于常见例子熟悉。
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