请教大家一个算法问题，如何计算 N*N 维矩阵中的 N 数之积，值最大，每行每列仅选一个

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V2EX 提问指南

这是一个创建于 1914 天前的主题，其中的信息可能已经有所发展或是发生改变。

rt，不知道应该怎么实现了

维矩阵

请教

算法

计算

20 条回复 • 2019-10-07 20:52:12 +08:00

ZRS

2019-10-02 15:35:06 +08:00

如果可以保证矩阵元素都是大于 1 的，对每个元素取对数，用匈牙利算法求解。

Caturra

2019-10-02 15:40:34 +08:00

只考虑正整数的话按行列拆分成二分图，边对应数的权值，然后跑 MCMF·改，把费用累加改成累乘（我瞎说的

oIMOo

2019-10-02 15:47:44 +08:00

为什么楼上都看懂问题了……

比如 3*3 的矩阵：
1 2 3
7 4 2
9 6 3

N 数之积 -> 3 个数字的乘积

值最大，每行只选一个 -> 选每行最大的，分别是 3，7，9，然后乘起来不就好了么？

oIMOo

2019-10-02 15:48:31 +08:00

@oIMOo 不对不对
我没看到每列…… 丢脸……
请无视我……

aneureka

2019-10-02 16:28:27 +08:00 via Android

有丶八皇后简略版的意思？？但我不知道直接回溯是不是复杂度会太高，如果楼主没有解决过这类问题建议看看八皇后。

111qqz

2019-10-02 16:36:58 +08:00 via Android

好像可以上 KM……（？）

ilotuo

2019-10-02 17:28:36 +08:00

我的思路:
先用 dfs 生成 range(1, n) 序列的排列组合, 共 n!种组合. 每个组合都有对应的乘积, 取组合中最大的一个即可.
如 3 楼的例子, 有组合 1,2,3 ; 1,3,2; 2,1,3; 2,3,1, ....
对应的乘积: 1*4*3; 1*2*6; 2*7*3; 2*2*9; ....
找其中最大的一个即可;

ilotuo

2019-10-02 17:32:20 +08:00

组合--> 排列
说错了.

threebr

2019-10-02 17:42:33 +08:00 via Android

用递归做搜索，思路上跟八皇后问题比较像

jtnwm

2019-10-02 18:21:17 +08:00

看不太明白，这个答案是唯一的吗？

threebr

2019-10-02 18:24:54 +08:00 via Android

@threebr 好吧，我想不出递归搜索的方法

zzyyzz1992

2019-10-02 22:20:08 +08:00

动态规划老哥

billwsy

2019-10-02 23:12:46 +08:00 via iPhone

@111qqz 我也觉得是 KM…但是不会写所以我选择费用流

optional

2019-10-02 23:37:13 +08:00 via Android

乘积最大子序列 * N

optional

2019-10-02 23:38:01 +08:00 via Android

不对不对列不能复选

dingyaguang117

2019-10-03 09:26:43 +08:00

@zzyyzz1992
动态规划 O(N*2^N)) 感觉还是高

aguesuka

2019-10-03 10:58:33 +08:00 via Android

任意两行交换不影响结果，我觉得线性代数里应该有好办法

optional

2019-10-05 08:51:14 +08:00

@SheerCold
回来看到 @aguesuka 说的『交换行列不影响结果』大受启发，那么最终结果肯定可以交换行列成一个斜线。
先把求积变成求和，简化思考：只要在边缘找（ n 行 n 列）一个合适的数字（对于求和就是数字最大），把它所在的行或者列交换到 0 行 0 列，然后递归(n-1)这个矩阵，就能找到这 n 个数字。
对于求积，无非稍微复杂点是做个 dp 而已，但是复杂度是一样的。

optional

2019-10-05 08:59:13 +08:00

复杂度应该是 N^2

optional

2019-10-07 20:52:12 +08:00 via iPhone

不对