问个简单的高中数学问题。

V2EX = way to explore

V2EX 是一个关于分享和探索的地方

现在注册

已注册用户请登录

这是一个创建于 710 天前的主题，其中的信息可能已经有所发展或是发生改变。

边长为 1 的正方形四个顶点的村庄。要修路两两相通。求路的最短长度。

这个应该不是 X 形，应该是>-< 这种形状吧？

边长

修路

顶点

相通

17 条回复 • 2023-01-19 10:11:42 +08:00

misdake

2023-01-18 23:04:12 +08:00

列个>-<形状下总长度的函数求导判断正负，发现是凹的然后求最小值

另外我记得这种长度权重不同的求最值问题可以用费马原理来着。

misdake

2023-01-18 23:04:45 +08:00

但如何证明这个形状最短呢？

GiantHard

2023-01-18 23:18:57 +08:00 via Android

根据三角形任意两边之和必定大于第三边，>-< 应该比 X 更长

lance6716

2023-01-18 23:34:53 +08:00 via Android

肥皂泡

ziwiwiz

2023-01-18 23:42:40 +08:00 via Android

假设边长为 2 ，计算一半长度(>-)，恒坐标为 x ，2*(x^2+1)^(1/2)+1-x ，求导为 2*x*(x^2+1)*(-1/2)-1 ，解 x^2+1=4x ，x=2±√3 。边长为 1 的话，就是横坐标为 1-(√3)/2

lance6716

2023-01-18 23:43:07 +08:00 via Android

这个为什么不是匚型

ziwiwiz

2023-01-18 23:45:28 +08:00 via Android

@lance6716 2√2 就小于 3 了

cpstar

2023-01-19 00:09:49 +08:00

如果是>-<，那是不是可以假定>-<是一个关于正方形中心的对称图形呢？那是不是可以设中间的横线长度为 x ，则五段路线的总长为 f(x)=x+2√(x^2-2x+2)，0≤x≤1 ，这个函数是个凹陷型的，最小值大概在 0.4 左右

cpstar

2023-01-19 00:13:22 +08:00

https://www.desmos.com/calculator

按上述公式录入，最小值 x=0.423 ，f(x)=2.732

ziwiwiz

2023-01-19 00:33:41 +08:00 via Android

@ziwiwiz 解得应该是 x^2+1=4x^2 ，x=√3/3 ，边长为 1 就是√3/6 ，中间横线长度为 1-√3/3≈0.423

lance6716

2023-01-19 00:42:48 +08:00 via Android

@ziwiwiz 就是说为啥不是一种没那么对称的形状

lance6716

2023-01-19 00:46:58 +08:00 via Android

看到根号 3 就想起蜂巢（正六边形）的一些特殊性质，在真实世界由蜜蜂进行的模拟中它最省材料

swulling

2023-01-19 03:09:03 +08:00 via iPhone

应该就是 X 。而不是别的解。

swulling

2023-01-19 03:17:12 +08:00 via iPhone

不过仔细想了想，不是 X 。

geelaw

2023-01-19 03:59:58 +08:00 via iPhone

这是个相当不平凡的问题，关键词：Steiner 树。

dlsflh

2023-01-19 09:58:51 +08:00 via Android

@GiantHard 你再想想，路的最短长度，不是最短的距离，路是可以复用的。实际就是最低成本，而不是最优体验。

GiantHard

2023-01-19 10:11:42 +08:00 via Android

@dlsflh 你说的对，这个问题确实不简单，根据 15 楼的提示，找到了答案